Çarpımları neredeyse benzer olan $$(x+1)(x+10)=x^2+10+11x$$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ve } \ \ \ (x+2)(x+5)=x^2+10+7x$$ polinomları ile başlayalım. Bu iki polinomun arasındaki fark(lardan biri) $4x$ olduğundan bunları $$x^2+10+11x=(x^2+10+9x)+2x$$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^2+10+7x=(x^2+10+9x)-2x$$ olarak yazabiliriz. İki kare farkı ile bu ifadelerin çarpımını $$((x^2+10+9x)+2x)((x^2+10+9x)-2x)=(x^2+10+9x)^2-(2x)^2$$ olarak yazabiliriz. Dolayısıyla verilen ifadeyi \begin{align*}(x+1)(x+2)&(x+5)(x+10)+3x^2\\[11pt]&=(\ (x^2+10+9x)^2-(2x)^2\ )+3x^2\\[11pt] &=(x^2+10+9x)^2-x^2\\[11pt]&=(\ (x^2+10+9x)+x\ )(x^2+10+9x)-x\ )\\[11pt]&=(x^2+10+10x)(x^2+10+8x)\\[11pt]&=(x^2+10x+10)(x^2+8x+10)\end{align*} olarak katsayıları tam sayı olacak şekilde çarpanlarına ayırabiliriz.
Ayrıca $$x^2+10x+10=(x+5)^2-15=(x+5+\sqrt{15})(x+5-\sqrt{15})$$ $$ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ve }\ \ \ x^2+8x+10=(x+4)^2-6=(x+4+\sqrt{6})(x+5-\sqrt{6})$$ olduğundan bu ifade tam sayı katsayılı olarak daha fazla çarpanlarına ayrılmaz ve gerçel sayılar üzerinde $$(x+5+\sqrt{15})(x+5-\sqrt{15})(x+4+\sqrt{6})(x+4-\sqrt{6})$$ olarak çarpanlarına ayrılır.