Kısa Cevap:
Verilen ifadeyi $$x^4+1=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt2x)^2$$ olarak yazalım ve iki kare farkı kullanarak\begin{align*}x^4+1&=(x^2+1+\sqrt2x)\cdot (x^2+1-\sqrt2x)\\[12pt]&=(x^2+\sqrt2x+1)\cdot (x^2-\sqrt2x+1)\end{align*} çarpanlara ayıralım.
Açıklamalı Cevap:
İki kare farkını kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayırabilmek için bir pozitif $a$ gerçel sayısı için ifadeyi $$x^4+1=(x^4+2ax^2+1)-2ax^2$$ olarak ifade edelim.
Bu şekide ifade etmemizin detaylarını şu şekilde verebiliriz:
(1) $a$ sayısını pozitif gerçel sayı olarak seçmemizin sebebi, $A$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere $u^2-A$ gibi bir ifadeyi $$(u+\sqrt A)\cdot (u-\sqrt A)$$ olarak iki kare farkı ile çarpanlarına ayırırken $\sqrt A$ diyebilmemiz için $A$ negatif olmamalı.
Burada $a$ değerini elbet de sıfır olarak alabilirdik fakat bu durumda sıfır ekle çıkart yapardık ve bu da çok manalı olmazdı.
(2) İfadelerde direkt $a$ değil de $2a$ gerçel sayısı ile üst işlemleri yapmamızın sebebi $1/2$ ile uğraşmamak içindir. $u+A$ gibi bir ifadenin karesi $$u^2+2Au+A^2$$ olur.
Bunların nasıl kullanışlı olduğunu işlemleri yaparken görebilirsiniz.
Bir polinom karesi yapmak istediğimiz $x^4+2ax^2+1$ ifadesi ile ilgilenelim. Bu ifadeyi $$(x^2+a)^2+(1-a^2)$$ olarak yazabiliriz. Bu ifadenin $(x^2+a)^2$ polinomuna eşit olabilmesi için (bunu yapabilirsek temiz bir polinom kare elde etmiş oluruz) pozitif $a$ gerçel sayısı $1-a^2=0$ eşitliğini sağlanmalıdır, yani (pozitif kök) $a=1$ olmalıdır.
Kullanmak istediğimiz yöntem için elverişli bir pozitif $a$ gerçel sayısı bulduk. Artık yöntemimizi uygulayabiliriz.
$x^4+1$ polinomu gerçel sayılar üzerinde\begin{align*}x^4+1&=(x^4+2x^2+1)-2x^2\\[12pt]&=(x^2+1)^2-(\sqrt2x)^2\\[12pt]&=(x^2+1+\sqrt2x)\cdot (x^2+1-\sqrt2x)\\[12pt]&=(x^2+\sqrt2x+1)\cdot (x^2-\sqrt2x+1)\end{align*}olarak çarpanlarına ayrılır. Ayrıca bu çarpanlara karşılık gelen $\Delta$ değerleri $-2$ olduğundan katsayıları gerçel olacak şekilde daha fazla çarpanlara ayrılamaz.