Fikir başlangıcı:
Burada 333 ile 334 ve 446 ile 447 birbire yakın sayılar. Bu nedenle (tercihen) bunların küçüklerine harf vererek devam edebiliriz. $a=333$ ve $b=446$ olsun.
Adım 1:
Karekök içerisindeki ifade ile ilgilenelim. $333$ yerine $a$ ve $446$ yerine $b$ yazarsak \begin{align*}333\cdot 447 - 446\cdot 334+8&= (a+1)\cdot b-(b+1)\cdot a+8\\[10pt] &=(a\cdot b+b)-(a\cdot b+a)+8\\[10pt]&=b-a+8\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Adım 2:
Bulduğumuz ifadede $a$ yerine $333$ ve $b$ yerine $446$ yazarsak \begin{align*}333\cdot 447 - 446\cdot 334+8 &=b-a+8\\[10pt] &=446-333+8\\[10pt] &=121\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Adım 3:
İç ifademiz $121$'e eşit olduğundan istenen ifadenin tam sayı değeri $$\sqrt{334\cdot 446 - 447\cdot 333+8}\ =\ \sqrt{121}\ = \ 11$$ olur.