Adım 1:
Verilen ifadeyi ikinci dereceden bir denkleme çevirebilmek için ifadeyi $$u=\frac{x^2+1}{x}$$ cinsinden yazalım.
Adım 2:
Bu dönüşüm ile $$u+\frac{8}{u}=6 \ \ \ \text{ yani } \ \ \ u^2-6u+8=0$$ eşitliğini elde ederiz.
Adım 3:
Bu ifadeyi çarpanlara ayırırsak $$0=u^2-6u+8=(u-2)(u-4)$$ eşitliği gereği $u=2$ ya da $u=4$ olmalıdır.
Adım 4.1:
$u=2$ olduğunda $$2=\frac{x^2+1}{x} \ \ \ \text{ yani } \ \ \ x^2-2x+1=0$$ denklemini elde ederiz.
Adım 4.2:
Bu ifadeyi çarpanlara ayırırsak $$0=x^2-2x+1=(x-1)(x-1)$$ eşitliği gereği $x=1$ olmalıdır.
Adım 5.1:
$u=4$ olduğunda $$4=\frac{x^2+1}{x} \ \ \ \text{ yani } \ \ \ x^2-4x+1=0$$ denklemini elde ederiz.
Adım 5.2:
Bu ifadeyi düzenlersek $$0=x^2-4x+1=(x-2)^2-3$$ eşitliği gereği $x=2+\sqrt3$ ya da $x=2-\sqrt3$ olmalıdır.
Adım 6:
Dolayısıyla $\frac{x^2+1}{x}+\frac{8x}{x^2+1}=6$ eşitliğini sağlayan $x$ gerçel sayılarının kümesi $$\left\{1,\ 2+\sqrt3,\ 2-\sqrt3\right\}$$ olur.