$\dfrac{(\sqrt[8]2+1)\cdot(\sqrt[4]2+1)}{\sqrt2-1}$ ifadesinin bir eşitini bulunuz.

Question

$$\frac{(\sqrt[8]2+1)\cdot(\sqrt[4]2+1)}{\sqrt2-1}$$ ifadesinin bir eşitini bulunuz.

A) $(\sqrt[8]2-1)^{-1}$          B) $(\sqrt2+1)^{-1}$          C) $\sqrt[8]2+1$          D) $\sqrt[4]2-1$          E) $1$

Answer 1

Sevimli hale getirme:
Polinomlar için öğrendiğimiz çarpanlara ayırma yöntemlerini kullanabilmek için $a=\sqrt[8]2$ dönüşümü uygularsak ifademiz $$\frac{(a+1)\cdot(a^2+1)}{a^4-1}$$  olarak dönüşür.

Çarpanlara ayırma:
$a^4-1$ ifadesini iki kare farkı ile iki kere çarpanlara ayırabiliriz. Bu yol ile \begin{align*}a^4-1&=(a^2)^2-1^2\\[12pt]&=(a^2-1)\cdot(a^2+1)\\[12pt]&=(a^2-1^2)\cdot(a^2+1)\\[12pt]&=(a-1)\cdot(a+1)\cdot(a^2+1)\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

Çözüm: 
Çarpanlara ayrılmış hali ifademizin içerisinde kullanırsak $$\frac{(a+1)\cdot(a^2+1)}{a^4-1}=\frac{(a+1)\cdot(a^2+1)}{(a-1)\cdot(a+1)\cdot(a^2+1)}=\frac{1}{a-1}=(a-1)^{-1}$$ eşitliğini elde ederiz. $a=\sqrt[8]2$ olduğunu kullanırsak ifademizin değeri $$(\sqrt[8]2-1)^{-1}$$ değerine eşit olur.