Başlangıç fikri:
Pay hakkında tam bilgiye sahibiz. Bu nedenle payı çarpanlara ayırarak işe başlayabiliriz.
Payı çarpanlara ayırma:
Kökler toplamını ve çarpımını ilişkilendirmek istersek, $3+(-2)=1$ ve $3\cdot(-2)=-6$ olduğundan, \begin{align*}x^2+x-6=(x+3)\cdot(x-2) \end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Bu bilgi ile yapabileceğimiz bir çıkarım:
İfadenin sadeleşebilir bir polinom kesiri olabilmesi için
$x+3$ ya da $x-2$
paydadaki polinomun bir çarpanı olmalı.
Bu bilgiyi kullanabileceğimiz bir fikir:
Bir $a$ gerçel sayısı için bir $P$ polinomu $x-a$ ile bölünebiliyorsa, ancak ve ancak,
$P(a)=0$
sağlanmalıdır.
Elde ettiğimiz şartları sağlayan b değerlerini bulma:
(1) $x+3$ polinomunun $x^2+bx+8$ polinomunu bölebilmesi için $$(-3)^2+b\cdot(-3)+8=0$$ eşitliği sağlanmalıdır. Bu durum için $b=\frac{17}3$ olur.
(2) $x-2$ polinomunun $x^2+bx+8$ polinomunu bölebilmesi için $$2^2+b\cdot2+8=0$$ eşitliği sağlanmalıdır. Bu durum için $b=-6$ olur.
Sonuç:
Bu şartı sağlayan $b$ değerleri $\frac{17}3$ ve $-6$ olduğundan istenen toplam değeri $$\frac{17}3+(-6)=-\frac13$$ olur.