Fikir:
İkinci dereceden iki değişkenli bir polinomumuz var. Verilen ifadenin en küçük değerini bulabilmek için ifadedeki değişkenlerle kareler oluşturacağız ve aşağıdaki bilgi yardımıyla sonuca ulaşmaya çalışacağız.
Basit ama kullanışlı bir bilgi:
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $$a^2\ge 0$$ eşitsizliği sağlanır ve (bir adım daha güzeli) $a=0$ olduğunda en küçük değerini alır.
Tam kareler oluşturma:
(1) $x^2+2x$ parçasını tam kare yapmak için ($2$'nin yarısının karesi olan) $1$ eklememiz yeterli. Bu durumda $$x^2+2x+1=(x+1)^2$$ olur.
(2) $y^2-3y$ parçasını tam kare yapmak için ($-3$'ün yarısının karesi olan) $9/4$ eklememiz yeterli. Bu durumda $$y^2-3y+\frac94=\left(y-\frac32\right)^2$$ olur.
İfadeyi tam kareler ile yazma:
$x$ ve $y$ gerçel sayıları için \begin{align*}x^2+y^2+2x-3y+11&=(x^2+2x)+(y^2-3y)+11\\[15pt]&=(x^2+2x+1)+\left(y^2-3y+\frac94\right)+11-1-\frac94\\[15pt]&=(x+1)^2+\left(y-\frac32\right)^2+\frac{31}4\end{align*} eşitliği sağlanır.
İfadenin en küçük değerini bulma:
Gerçel sayıların karesi negatif olmadığından \begin{align*}x^2+y^2+2x-3y+11=(x+1)^2+\left(y-\frac32\right)^2+\frac{31}4 \ge 0+0+\frac{31}4=\frac{31}4\end{align*} eşitsizliği sağlanır ve ifademiz bu alt sınır değerini $x=-1$ ve $y=3/2$ olduğunda alır.