$x+x^{-1}=1$ eşitliği sağlanıyorsa $x^{1234}+x^{-1234}$ ifadesinin değeri

Question

$x$ bir karmaşık sayı olmak üzere $x+x^{-1}=1$ eşitliği sağlanıyorsa $$x^{1234}+x^{-1234}$$ ifadesinin değerini bulunuz.

Answer 1

Başlangıç için bir adım:
Polinomsal gözle bakabilmek adına $x+x^{-1}=1$ eşitliğini $x$ ie çarpalım ve düzenleyelim. Bu durumda $$x^2+1=x \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^2-x+1=0$$ eşitliği sağlanır.

Fikir: 
Burada elimizde üç terimli $x^2-x+1$ polinomu var. Bunu iki terimli olarak $x^3+1$ polinomuna dönüştürmek mümkündür. Elimizdeki eşitliğin iki tarafını da $x+1$ ile çarparsak $$x^3+1=\color{red}{(x+1)\cdot (x^2-x+1)=(x+1)\cdot 0}=0$$ eşitliği sağlanır. Bu da bize $x^3=-1$ eşitliğini verir.

Bulmak istediğimiz ifadeyi fikrimize göre düzenleme:
$x^3=-1$ eşitliğini kullanabileceğimiz şekilde ifademizi düzenlersek\begin{align*}x^{1234}+x^{-1234}&=x^{3\cdot 411+1}+x^{3\cdot(-412)+2}\\[12pt]&=\left(x^3\right)^{411}\cdot x+\left(x^3\right)^{-412}\cdot x^2\\[12pt]&=(-1)^{411}\cdot x+(-1)^{-412}\cdot x^2\\[12pt]&=-1\cdot x+1\cdot x^2\\[12pt]&=x^2-x\\[12pt]&=(x^2-x+1)-1\\[12pt]&=0-1\\[12pt]&=-1\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

Answer 2

Modüler aritmetik kullanırsak:
$x^3=-1$ ifadesinde her iki tarafın karesini alırsak $x^6=1$ olacağından $1234$ ve $-1234$ sayılarının $6$ ile kalanını(!) bulmamız yeterlidir.

$1234\equiv 0\mod 2$ ve $1234\equiv 1\mod 3$ olduğundan $$1234\equiv 4 \mod 6 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ -1234\equiv 2 \mod 6$$ sağlanır. Bu da ifademizin $x^4+x^2$ ifadesine eşit kılar.

Bu bilgiler ile \begin{align*}x^{1234}+x^{-1234}&=x^{4}+x^{2}\\[12pt]&=(x^3)\cdot x+x^2\\[12pt]&=-1\cdot x+x^2\\[12pt]&=x^2-x\\[12pt]&=(x^2-x+1)-1\\[12pt]&=0-1\\[12pt]&=-1\end{align*} eşitliğini elde ederiz.