$x+y=10$ ise $x\cdot y$ ifadesinin alabileceği en büyük değer

Question

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere $$x+y=10$$ eşitliği sağlanıyorsa $x\cdot y$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Answer 1

Ezbere bilgi ile çözüm: 
$x\cdot y$ ifadesi en büyük degerini $x=y=5$ olduğunda $5\cdot 5=25$ olarak alır.

Answer 2

Soruyu tek değişkene indirgeme:
$x+y=10$ olduğundan dolayı $$y=10-x$$ eşitliği sağlanır. Dolayısıyla $$x\cdot y=x\cdot (10-x)=10x-x^2$$ eşitliği sağlanır. Bu nedenle sorumuzu aşağıdaki gibi sorabiliriz. 

Eşdeğer soru: $x$ bir gerçel sayı olmak üzere $10x-x^2$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Fikir:
Kare ifadelerin negatif olmadığını kullanabilmek için ifadeyi sayı ve kareden oluşacak şekilde yazalım. 

İfadeyi fikre uygun düzenleme:
Bunun için ifadeye (10un yarısının karesi olan) $5^2$ ekleyip çıkartalım. Bu yol ile ifademizi \begin{align*}x\cdot y\ &=\ x\cdot (10-x)\\[15pt]&=\ 10x-x^2\\[15pt]&=\ 25-25+10x-x^2\\[15pt]&=\ 25-(x^2-10x+25)\\[15pt]&=\ 25-(x-5)^2\end{align*} olarak yazılabilir.

Bilgi:
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $$a^2\ge 0$$ eşitsizliği sağlanır ve eşitlik durumu sadece $a=0$ için gerçekleşir.

Çözüm:
Üst bilgi gereği $$x\cdot y\ = \  25-(x-5)^2 \ge 25$$ eşitsizliği sağlanır ve eşitlik durumu sadece $x-5=0$ yani $x=5$ olduğunda sağlanır.

Cevap:
$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere $$x+y=10$$ eşitliği sağlandığında $x\cdot y$ ifadesinin alabileceği en büyük değer $25$ değeridir. Bu değeri $x=y=5$ olduğu zaman alır.

Answer 3

Soruyu tek değişkene indirgeme:
$x+y=10$ olduğundan bir $k$ gerçel sayısı için $$x=5+k \ \ \ \text{ ve } \ \ \ y=5-k$$ eşitliği sağlanır. Dolayısıyla $$x\cdot y=(5+k)\cdot (5-k)=25-k^2$$ eşitliği sağlanır. Bu nedenle sorumuzu aşağıdaki gibi sorabiliriz. 

Eşdeğer soru: $k$ bir gerçel sayı olmak üzere $25-k^2$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Bilgi:
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $$a^2\ge 0$$ eşitsizliği sağlanır ve eşitlik durumu sadece $a=0$ için gerçekleşir.

Çözüm:
Üst bilgi gereği $$x\cdot y\ = \  25-k^2 \ge 25$$ eşitsizliği sağlanır ve eşitlik durumu sadece $k=0$ olduğunda sağlanır.

Cevap:
$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere $$x+y=10$$ eşitliği sağlandığında $x\cdot y$ ifadesinin alabileceği en büyük değer $25$ değeridir. Bu değeri $x=y=5$ olduğu zaman alır.

Answer 4

Özdeşlik kullanarak verilen ve isteneni bağlama:
Toplamın ve farkın kareleri ile \begin{align*}xy\ &=\ \frac14\left[(x+y)^2-(x-y)^2\right]\\[15pt]&=\ \frac14\left[10^2-(x-y)^2\right]\\[15pt]&=\ 25-\frac14(x-y)^2\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

Bilgi:
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $$a^2\ge 0$$ eşitsizliği sağlanır ve eşitlik durumu sadece $a=0$ için gerçekleşir.

Çözüm:
Üst bilgi gereği $$x\cdot y\ = \ 25-\frac14(x-y)^2 \ge 25$$ eşitsizliği sağlanır ve eşitlik durumu sadece $x-y=0$ yani $x=y$ olduğunda sağlanır.

Cevap:
$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere $$x+y=10$$ eşitliği sağlandığında $x\cdot y$ ifadesinin alabileceği en büyük değer $25$ değeridir. Bu değeri $x=y=5$ olduğu zaman alır.