Fikir:
İfadeyi faktoriyel toplam farkı olarak yazarsak sadeleştirmeler elde ederiz. Bunu uygulayalım.
Toplamın terimlerini düzenleme:
Bize verilen ifadenin terimlerini ayrı ayrı incelersek$$1\cdot 1!\ = \ (2-1)\cdot 1!\ = \ 2\cdot 1!-1\cdot 1!\ = \ 2!-1!$$$$2\cdot 2!\ = \ (3-1)\cdot 2!\ = \ 3\cdot 2!-1\cdot 2!\ = \ 3!-2!$$$$3\cdot 3!\ = \ (4-1)\cdot 3!\ = \ 4\cdot 3!-1\cdot 3!\ = \ 4!-3!$$$$4\cdot 4!\ = \ (5-1)\cdot 4!\ = \ 5\cdot 4!-1\cdot 4!\ = \ 5!-4!$$$$5\cdot 5!\ = \ (6-1)\cdot 5!\ = \ 6\cdot 5!-1\cdot 5!\ = \ 6!-5!$$$$6\cdot 6!\ = \ (7-1)\cdot 6!\ = \ 7\cdot 6!-1\cdot 6!\ = \ 7!-6!$$eşitliklerini elde ederiz.
Toplamı bulma:
Bu toplamda pozitif negatif sadeleştirmelerini (çapraz olarak) yaparsak toplamın değerinin $$7!-1!=5040-1=5039$$ olduğunu buluruz.