Fikir:
Sadeleştirilebilir toplamları hesaplamak nispeten kolaydır. Bu nedenle ifademizi sadeleştirmeye elverişli olabilecek şekilde düzenleyelim.
Düzenleme:
$k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere (negatif olmayan gerçel sayı olsa da sağlanır) \begin{align*}\frac{1}{\sqrt k +\sqrt{k+1}}&=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{(\sqrt k +\sqrt{k+1})\cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt k)}\\[22pt]&=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{\sqrt{k+1}^2-\sqrt k^2}\\[22pt]&=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{(k+1)- k}\\[22pt]&=\sqrt{k+1}-\sqrt k \end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Örneklendirme:
Bu ifadenin sadeleştirmeye elverişli olduğunu görebilmek için daha bir kısa toplam olan $$\frac1{\sqrt 1+\sqrt2}+\frac1{\sqrt 2+\sqrt3}+\frac1{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$ ile ilgilenelim. Yukarıdaki eşitliği kullanırsak bu ifade \begin{align*}&\left(\sqrt2-\sqrt1\right)\\[11pt]+&\left(\sqrt3-\sqrt2\right)\\[11pt]+&\left(\sqrt4-\sqrt3\right)\end{align*} toplamına eşit olur. Çapraz olarak $\sqrt2$ ve $\sqrt3$ sadeleşir. Bu da toplamın $$\sqrt4-\sqrt1=2-1=1$$ olduğunu verir.
Asıl problemi çözme:
Bize verilen $$\frac1{\sqrt 1+\sqrt2}+\frac1{\sqrt 2+\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{48}+\sqrt{49}}$$ toplamı \begin{align*}&\left(\sqrt2-\sqrt1\right)\\[11pt]+&\left(\sqrt3-\sqrt2\right)\\[11pt]\vdots&\\[11pt]+&\left(\sqrt{49}-\sqrt{48}\right)\end{align*} toplamına eşit olur. Çapraz olarak $\sqrt2$, $\sqrt3$, $\ldots$, $\sqrt{48}$ sadeleşir. Bu da toplamın $$\sqrt{49}-\sqrt1=7-1=6$$ olduğunu verir.