Logaritma alma:
$0^0$ belirsizliği var. Bu belirsizliği $\infty/\infty$ belirsizliğine çevirmek için fonksiyonun logaritması ile ilgilenelim. Logaritma aldığımızda, $(0,\pi)$ aralığındaki $x$ gerçel sayıları için $$\ln \left((\sin x)^{x}\right)= x\cdot \ln(\sin x)=\frac{\ln (\sin x)}{x^{-1}}$$ eşitliği sağlanır.
Logaritmasının limiti:
$\infty/\infty$ belirsizliğimiz var. Bu belirsizliği gidermek için bir kere l'Hopital uygulayalım ve $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ eşit olduğunu kullanacak şekilde ifadeyi düzenleyerek limit değerini bulalım. Bu yöntem ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\ln (\sin x)}{x^{-1}}\ &= \ \lim\limits_{x\to0^+}\frac{\cos x\cdot (\sin x)^{-1}}{x^{-2}}\\[15pt] &=\ \lim\limits_{x\to0^+}\left(x\cdot \cos x\cdot \left(\frac{\sin x}x\right)^{-1} \right)\\[15pt] &=\ 0\cdot \cos 0\cdot 1^{-1}\\[15pt] &=\ 0\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Sonuç:
$\exp$ fonksiyonu sürekli olduğundan, özel olarak $0$ noktasında sürekliolduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{x\to0^+}(\sin x)^{x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0^+}\exp \left[\ln \left((\sin x)^{x}\right)\right]\\[15pt] &= \ \exp\left[ \lim\limits_{x\to 0^+}\ln \left((\sin x)^{x}\right)\right]\\[15pt] &= \ \exp(0) \\[15pt] &= \ 1 \end{align*} eşitliğini elde ederiz.