Kumarbazın sonu

Question

Bir kumarbaz üç kumarhaneli bir köye gider. Bu kumarhaneler giriş ve çıkış ücreti olarak $10$ar TL almaktadır.

Kumarbaz bu üç kumarhaye sırasıyla gider ve her birinde cebindeki tüm para ile bir el oyun oynar ve parasını iki katına çıkarır.

Üçüncü kumarhaneden çıktığında ise cebinde hiç para kalmaz.

Bu kumarbazın cebinde ilk başta ne kadar para vardı?

Answer 1

Cebindeki ilk paraya $x$ TL diyelim.

Kumarbaz birinci kumarhaneye girdiğide 10 TL öder, içerde parasını iki katına çıkarır ve çıkarken tekrardan bir 10 TL ödeme yapar. $$x\ \ \ \stackrel{-10}{\to}\ \ \ x-10 \ \ \ \stackrel{\times 2}{\to}\ \ \ 2\cdot (x-10) \ \ \ \stackrel{-10}{\to}\ \ \  2\cdot (x-10)-10.$$ Bu işlemler ile kumarbaz kumarhaneden ayrıldığında cebinde $2x-30$ TL parası olur.

Aynı işlem sürecinden geçtiğinden ikinci kumarhaneden çıktığında cebindeki parası  $$2\cdot (2x-30)-30\ = \ 4x-90$$ TL ve üçüncü kumarhaneden çıktığında ise $$2\cdot (4x-90)-30\ = \ 8x-210$$ TL olur.

Bu kumar sürecinin sonunda cebinde hiç para kalmadığı için $$8x-210=0 \ \ \ \text{ yani }\ \ \ x=26.25$$ olmalıdır.

Answer 2

Ters hesap ile bir değişken atamadan çözüme ulaşabiliriz.

Üçüncü kumarane senaryosunu tersten işlersek çıktığında cebinde hiç para olmadığından çıkmadan önce 10 TL olması gerekir, içerde cebindeki parayı iki katına çıkardığından kumar oynamadan önce cebinde 5 TL olmalıdır, girişte 10 TL verdiğinden kumarabaz kumarhaneye girmeden önce cebinde 15 TL paraya sahip olmalıdır.  $$0\ \ \ \stackrel{+10}{\to}\ \ \ 10 \ \ \ \stackrel{:2}{\to}\ \ \ 5 \ \ \ \stackrel{+10}{\to}\ \ \  15.$$ Benzer bir şekilde ikinci kumaraneye girmeden önce cebinde $$15\ \ \ \stackrel{+10}{\to}\ \ \ 25 \ \ \ \stackrel{:2}{\to}\ \ \ 12.5 \ \ \ \stackrel{+10}{\to}\ \ \  22.5$$ TL parası olmalıdır ve birinci kumaraneye girmeden önce cebinde $$22.5\ \ \ \stackrel{+10}{\to}\ \ \ 32.5 \ \ \ \stackrel{:2}{\to}\ \ \ 16.25 \ \ \ \stackrel{+10}{\to}\ \ \  26.25$$ TL parası olmalıdır.

Not ve biraz beyin fırtınası:
[(girdi+10)/2]+10 işlemine bütünsel bakarsak 15+(girdi/2) işlemini elde ederiz. Bu da cevabın $$15+\frac{15}{2}+\frac{15}{4} \ \ \ \text{ yani } \ \ \ 15\cdot \left(2-\frac14\right)$$ olduğunu hızlı bir şekilde verir.

(1) Peki senaryoda sadece kumarhane sayısını üç değil de on yapsaydık problemin cevabı ne olurdu?
(2) Cebinde en az ne kadar olsa kumarhane sayısı ne olursa olsun son kumarhaneden çıktığında cebinde bir miktar para kalır?