Türevi kendisine eşit olan fonksiyonlar

Question

$I$ gerçel sayı lar kümesinin boş olmayan bir aralığı ve $f:I\to \mathbb R$ bir fonksiyon olsun.

$f^\prime=f$ eşitliği sağlanırsa  bir $c$ gerçel sayısı için $f$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=c\cdot e^x$$ olur.

Kullanılacak bilgi: $\exp^\prime=\exp$ eşitliği sağlanır. (Burada $\exp$ gerçel sayılar üzerinde tanımlı ve kuralı $e^x$ olan fonksiyondur.)

Answer 1

Kullanışlı bir sav:
Boş olmayan bir açık aralık üzerinde bir fonksiyonun türevi sıfırsa kendisi sabit fonksiyondur.

f ile exp fonksiyonunu ilişkilendirme:
Gerçel sayılar üzerinde $e^x$ pozitif değerler alığından bir $g:I\to \mathbb R$ fonksiyonu için $$f(x)=e^x\cdot g(x)$$ eşitliği sağlanır. 

Amacımız $g$ fonksiyonunun sabit olduğunu göstermektir.

Not: $g$ fonksiyonunun kuralı $g(x)=f(x)/e^x$ olur ve bölümün türevi gereği türevlenebilir.

Türev alma:
Verilen çarpmalı eşitlikte türev alırsak $$f^\prime(x)=e^x\cdot g(x)+e^x\cdot g^\prime(x)=f(x)+e^x\cdot g^\prime(x)$$eşitliği sağlanır.

g fonksiyonunun sabit olduğunu gösterme:
$f^\prime=f$ olduğundan son eşitlik ile $$e^x\cdot g^\prime(x)=0 \ \ \ \text{ yani } \ \ \ g^\prime(x)=0 $$ eşitliğini elde ederiz. Bu da $g$ fonksiyonunun sabit bir fonksiyon olduğunu verir.

Answer 2

f ile exp fonksiyonunu ilişkilendirme:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ fonksiyonu pozitif değerler alır. $g:I\to \mathbb R$ fonksiyonunu kuralı  $$g(x)=\frac{f(x)}{e^x}$$ olacak şekilde tanımlayalım.

Amacımız $g$ fonksiyonunun sabit olduğunu göstermektir.

Türev alma:
Verilen bölmeli eşitlikte türev alırsak \begin{align*}g^\prime(x)\ = \ \left(\frac{f}{\exp}\right)^\prime(x) \ &= \ \frac{f^\prime (x)\cdot \exp(x)-\exp^\prime(x)\cdot f(x)}{(e^x)^2}\\[15pt] &= \ \frac{f(x)\cdot e^x-e^x\cdot f(x)}{e^{2x}}\\[15pt] &= \ 0\end{align*}eşitliği sağlanır.

Sonuç:
Boş olmayan bir açık aralık üzerinde bir fonksiyonun türevi sıfırsa kendisi sabit fonksiyondur. Bu da $g$ fonksiyonunun sabit bir fonksiyon olduğunu verir.