Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Orta Öğretim kategorisinde tarafından

Aşağıdaki eşitlikleri geometrik olarak gösteriniz ve genel olarak verilen savı ispatlayınız.

(1) $3^2\ +\ 4^2\ =\ 5^2$
(2) $10^2 \ + \ 11^2 \ + \ 12^2 \ = \ 13^2 \ + \ 14^2$

Sav:
$n$ pozitif tam sayısı verilsin. $a$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $$\underbrace{a^2+(a+1)^2+\cdots+(a+n)^2}_{(n+1) \ \text{terim} }=\underbrace{(a+n+1)^2+\cdots+(a+2n)^2}_{n \ \text{terim} }$$ eşitliğini sağlayan biricik $a$ pozitif tam sayısı $2n^2+n$ değeridir.

1 cevap

0 oy
tarafından

Bir kenarı $5$ birim olan karenin ortasından bir kenarı $3$ birim olan kareyi alırsak geriye dört tane kenarları $1$ birime $4$ birim olan dikdörtgen kalır. Bunları yanyana getirdiğimizde bir kenarı $4$ birim olan bir kare elde ederiz. Bu bize ilk eşitliği verir. 

Bir kenarı $13$ birim olan karenin ortasından bir kenarı $11$ birim olan kareyi alırsak geriye dört tane kenarları $1$ birime $12$ birim olan dikdörtgen kalır. Benzer şekilde kenarı $14$ birim olan karenin ortasından bir kenarı $10$ birim olan kareyi alırsak ve uygun biçimde ayırırsak geriye dört tane kenarları $2$ birime $12$ birim olan dikdörtgen kalır. Bunları yanyana getirdiğimizde bir kenarı $12$ birim olan bir kare elde ederiz. Bu bize ikinci eşitliği verir.

Savın ispatı:
İki kare farkı ile çarpımsal bir ifade elde etme:
$b$ ve $k$ gerçel sayılar olmak üzere $$(b+k)^2-(b-k)^2=4b\cdot k$$ eşitliği sağlanır. Bu eşitliği $(b-k)^2+4b\cdot k=(b+k)^2$ olarak da yazabiliriz. 

İki eşitlik de geometriden gelen fikre tamamen oturuyor.

İstediğimiz toplama benzetme çabası:
Bu eşitlikleri $k$ yerine $1$'den $n$'ye kadar olan pozitif tam sayıları koyarak toplarsak ve düzenlersek $$\underbrace{(b-n)^2+(b-(n-1))^2+\cdots+(b-1)^2}_{n \ \text{ ardışık terim}}+4b\cdot (1+2+\cdots+n)$$$$=\underbrace{(b+1)^2+(b+2)^2+\cdots+(b+n)^2}_{n \ \text{ ardışık terim}}$$ eşitliğini elde ederiz.

İstediğimiz toplama benzetme ve bir sonuca varma:
Bu toplamın istediğimiz gibi $n+1$ tane ardışık terimin karesinden sonra devam eden $n$ ardaşık terimin kare toplamları gibi olması için $$b^2=4b\cdot (1+2+\cdots+n)=4b\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2}=b\cdot 2n(n+1)$$ eşitliği sağlanmalıdır. Pozitif $b$ değerleri için $$b= 2n(n+1)$$ eşitliği sağlanmalıdır.

Sonuç:
$b$ yerine $a$ ve $n$ pozitif tam sayısı için $a+n$ yazarsak istediğimiz toplamı elde ederiz. Burada $$a=b-n=2n(n+1)=2n^2+n$$ eşitliği sağlanır.

...