Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Payda bulunan $2+\sin n$ ifadesi sınırlı bir ifade, alttan $1$ ve üstten $3$ ile sınırlıdır. Paydada ise $n^2$ ifadesi var. Bu bilgiler ile ilgilenmemiz gereken toplam teriminin, basit hali ile, $1/n^2$ olması gerektiğini görürüz. Bu toplam $p$-testi gereği yakınsak bir toplam olduğundan karşılaştırma testine uygun olarak $3/n^2$ terimli toplamla ilgilenmeliyiz.
Direkt karşılaştırma testi:
Karşılaştırma için uygun bir eşitsizlik bulma:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $1 \leq 2+\sin n \le 3$ eşitliği sağlanır ve $$0<\frac{2+\sin n}{n^2} \le 3\cdot\frac{1}{n^2}$$ eşitsizliğini elde ederiz.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$ toplamı, $p=2 \ge 1$ olduğundan, $p$-seri testi gereği yakınsaktır. Sıfır olmayan sabit ile çarpım yakınsaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac3{n^2}$$ toplamı da yakınsar.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2+\sin n}{n^2}$$toplamı da yakınsak olur.
Temel yapılan bir hata:
Direkt karşılaştırma testine ya da sınırlılığa girmeden şöyle bir çözüm uğraşı olabilir. Toplam terimleri $1/n^2$ olan toplamla limit karşılaştırma testi girişimine girersek $$\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{2+\sin n}{n^2}}{\dfrac1{n^2}}=\lim\limits_{n \to \infty}\left(2+\sin n\right)$$ limitinin var olmamadığını görürüz. Bu limitin var olmaması toplamın ıraksak olduğu anlamına gelmez, bu örnek de halihazırda buna karşı bir örnektir.
Hatanın bir yerlerde hata olmaması:
(Klasik analiz dersinde öğretilmeyen) limsup kavramı ile $2+\sin n$ dizisinin supremum limiti $3$ olduğunu gösterip limit karşılaştırma testinin supremum limitine karşılık gelen halini kullanabiliriz.
Ayrıca ek bir not olarak $\limsup\limits_{n\to\infty}\sin n=1$ olduğunu göstermek için de güçlü araçlar kullanmak gerekiyor. Bunun yerine yine $2+\sin n$ dizisinin $3$ ile üstten sınırlı olduğunu kullanmak işleri kolaylaştırır.