Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5^n+n}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor. Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki en güçlü terim olan $5^n$ ile ilgilenmeliyiz. ($5^n$ limitsel olarak $n$'ten kuvvetlidir. $\lim_{n\to \infty} n/5^n=0$.) Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5^n}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.

Bu ilişkilendirmeyi direkt ya da limit karşılaştırma testi ile yapabiliriz. Bu başlık altında direkt karşılaştırma testini uygulayacağız.

Direkt karşılaştırma testi:

Karşılaştırma için uygun bir eşitsizlik bulma:
Her $n$ pozitif tam sayısı için  $5^n+n>5^n>0$ eşitliği sağlanır ve  $$0 \leq  \frac{1}{5^n+n} \leq  \frac{1}{5^n}$$ eşitsizliğini elde ederiz.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$\left|\dfrac15\right|<1$ eşitsizliği sağlandığından geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{5}\right)^n$$ toplamı yakınsaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5^n+n}$$toplamı da yakınsak olur.

Yanlış bir yol:
Her $n$ pozitif tam sayısı için  $5^n+n>n>0$ eşitliği sağlanır ve  $$0 \leq  \frac{1}{5^n+n} \leq  \frac{1}{n}$$ eşitsizliğini elde ederiz. Kıyaslamaya çalıştığımız ve terimsel bazda dizimizin terimlerinden büyük olan $\frac 1n$ dizisinin toplam dizisi ıraksaktır. Büyük olan ıraksak olduğunda küçük olan için direkt karşılaştırma testi ile bir sonuca varamayız.

...