Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{\sqrt{(n+1)(n+2)(n+3)}}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Pay $n$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor. Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki kök içerisindeki en güçlü terim olan $n^3$ ile ilgilenmeliyiz. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı terimleri $n/\sqrt{n^3}$, yani $1/\sqrt{n}$, olan toplam ile ilişkilendirmiş oluruz.

Limit karşılaştırma testi:

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/\sqrt{n}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \frac{n}{\sqrt{(n+1)(n+2)(n+3)}}}{\dfrac1{\sqrt n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^{3/2}}{\sqrt{(n+1)(n+2)(n+3)}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{\left(1+\dfrac1n\right)\left(1+\dfrac2n\right)\left(1+\dfrac3n\right)}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{\sqrt{(1+0)(1+0)(1+0)}}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
Harmonik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{\sqrt n}$$ toplamı, $p=1/2 \leq 1$ olduğundan,  $p$-seri testi gereği ıraksaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{\sqrt{(n+1)(n+2)(n+3)}}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.

...