Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2+1}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.. Toplamı basitleştirmek istersek paydaki en güçlü terim olan $n$ ve paydadaki en güçlü terim olan $n^2$ ile ilgilenmeliyiz. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı harmonik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.

Limit karşılaştırma testi:

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{2n+1}{n^2+1}}{\dfrac1{n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{2n^2+n}{n^2+1} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{2+n^{-1}}{1+n^{-2}}\\[15pt] &= \ \frac{2+0}{1+0}\\[15pt] &= \ 2\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
Harmonik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1n$$ toplamı, $p=1 \leq 1$ olduğundan,  $p$-seri testi gereği ıraksaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{2n+1}{n^2+1}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.

...