Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Toplamı basitleştirmek istersek paydaki en güçlü terim olan $5^{2n}$ ve paydadaki en güçlü terim olan $3^{3n}$ ile ilgilenmeliyiz. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{25}{27}\right)^n$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Direkt karşılaştırma testi için aday:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $-1<\cos n,\sin n<1$, $19^n\le 25^n$ ve $2n\le 3^{3n} $ eşitsizlikleri sağlanır ve \begin{equation}\label{eq}0 \leq \frac{19^{n}+5^{2n}+\sin n-1}{3^{3n}+n+\cos n+1} \leq \frac{5^{2n}+5^{2n}+1-1}{3^{3n}-\frac123^{3n}-1+1}=4\cdot \left(\frac{25}{27}\right)^n\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz.
İstenen toplamın yakınsaklığı ve sonuç:
$|25/27|<1$ olduğundan geometrik toplam olan $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{25}{27}\right)^n$ toplamı yakınsak olur. Sabit çarpım yakınsaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 4\left(\frac{25}{27}\right)^n$$ toplamı da yakınsak olur.
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{19^{n}+5^{2n}+\sin n-1}{3^{3n}+n+\cos n+1} $$ toplamı yakınsak olur.