Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{19^{n}+5^{2n}+\sin n-1}{3^{3n}+n+\cos n+1}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Toplamı basitleştirmek istersek paydaki en güçlü terim olan $5^{2n}$ ve paydadaki en güçlü terim olan $3^{3n}$ ile ilgilenmeliyiz. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{25}{27}\right)^n$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.

Direkt karşılaştırma testi için aday:
Her $n$ pozitif tam sayısı için  $-1<\cos n,\sin n<1$, $19^n\le 25^n$ ve $2n\le 3^{3n} $ eşitsizlikleri sağlanır ve  \begin{equation}\label{eq}0 \leq  \frac{19^{n}+5^{2n}+\sin n-1}{3^{3n}+n+\cos n+1} \leq  \frac{5^{2n}+5^{2n}+1-1}{3^{3n}-\frac123^{3n}-1+1}=4\cdot \left(\frac{25}{27}\right)^n\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz.

İstenen toplamın yakınsaklığı ve sonuç:
$|25/27|<1$ olduğundan geometrik toplam olan $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{25}{27}\right)^n$ toplamı yakınsak olur. Sabit çarpım yakınsaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 4\left(\frac{25}{27}\right)^n$$ toplamı da yakınsak olur.

Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{19^{n}+5^{2n}+\sin n-1}{3^{3n}+n+\cos n+1} $$ toplamı yakınsak olur.

...