Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n^2}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplam terimleri pozitif olmadığından mutlağı ile ilgilenmeyi deneyebiliriz. Bu durumda payın mutlağı $1$ ile üstten sınırlı olur ve $1/n^2$ terimli yakınsak toplam ile ilgilenmiş oluruz.

Mutlak alma ve üstten sınırlama:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere \begin{equation}\label{eq}0\le \left|\frac{\sin n}{n^2}\right|=\frac{\left|\sin n\right|}{n^2}\le \frac{1}{n^2}  \end{equation} eşitsizliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2 > 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı  $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.

Mutlağının yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{\sin n}{n^2}\right|$$ toplamız, direkt karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n^2}$$ toplamız, mutlak yakınsaklık savı gereği, yakınsak olur.

...