Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplam terimleri pozitif olmadığından mutlağı ile ilgilenmeyi deneyebiliriz. Bu durumda payın mutlağı $1$ ile üstten sınırlı olur ve $1/n^2$ terimli yakınsak toplam ile ilgilenmiş oluruz.
Mutlak alma ve üstten sınırlama:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere \begin{equation}\label{eq}0\le \left|\frac{\sin n}{n^2}\right|=\frac{\left|\sin n\right|}{n^2}\le \frac{1}{n^2} \end{equation} eşitsizliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2 > 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Mutlağının yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{\sin n}{n^2}\right|$$ toplamız, direkt karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n^2}$$ toplamız, mutlak yakınsaklık savı gereği, yakınsak olur.