Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \left(\cos\left(\frac1e\right)\right)^{-n}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamı basitleştirmek için toplamı$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\cos\left(\frac1e\right)\right)^{-n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{\cos\left(e^{-1}\right)}\right)^n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\sec\left(e^{-1}\right)\right)^n$$ olarak yazarsak toplamın bir geometrik toplam olduğunu görebiliriz.

Toplamın ıraksaklığı:
$\sec(e^{-1})$ tanımlı olduğundan $|\sec(e^{-1})|\ge 1$ eşitsizliği sağlanır ve geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\cos\left(\frac1e\right)\right)^{-n}$$ toplamı ıraksak olur.

...