Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \left(1-\cos\left(\frac1n\right)\right)$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplam direkt $p$-toplamları ile ilişkili olmasa da $\sin n$ ile $n$ arasında bir eşitsizlik mevcuttur. Bu eşitsizliği kullanabilmek için $\cos$ ile $\sin$ arasında bir köprü kurabiliriz. Bu işlemleri yaptığımızda toplamın terimini, toplamı yaksınsak olan, $1/n^2$ ifadesinden küçük kılmış oluruz.

Direkt karşılaştırma testine uygun aday bulma:
Her pozitif $x$ gerçel sayısı için $1-\cos 2x=2\sin^2 x$ eşitliği ve $\sin x<x$ eşitsizliği sağlanır. Bu bilgiler ile \begin{equation}\label{eq}0\le 1-\cos\left(\frac1n\right)=2\sin^2\left(\frac1{2n}\right) \le 2\left(\frac{1}{2n}\right)^2=\frac{1}{2n^2}\end{equation}eşitsizliğini elde ederiz.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$ toplamı  $p$-toplam testi gereği yakınsar. Sıfır olmayan sabit çarpım yakınsaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{2n^2}$$ toplamı  da yakınsak olur.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitsizlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left( 1-\cos\left(\frac1n\right)\right)$$ toplamı yakınsak olur.

...