Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty n\sin\left(\dfrac1{n}\right)$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Tabi bu fikri terim limiti sıfır olanlar için uygulama girişiminde bulunmalıyız ya da terim limitini bilmediğimiz zamanlarda oran testi gibi testlerle ıraksaklığını anlamak için bu fikre başvurmalıyız.

Bu toplamın terim limitinin $1$ olduğunu göstermek zor olmadığından sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.

Terim limiti:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda\begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty} n\sin\left(\dfrac1{n}\right) \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\sin\left(n^{-1}\right)}{n^{-1}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sin\left(x^{-1}\right)}{x^{-1}} \qquad{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{\sin\left(t\right)}{t} \qquad{\color{teal}{(t=x^{-1})}}\\[15pt] &= \ 1\end{align*}eşitliği sağlanır.

Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfırdan faklı olduğundan, ıraksaklık testi gereği,$$\sum_{n=1}^\infty n\sin\left(\dfrac1{n}\right)$$ toplamı ıraksar.

...