Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \sin\left(\dfrac1{n}\right)$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
$0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanarak bu toplamı terimleri $1/n$ olan toplamla ilişkilendirebiliriz.

Limit alma:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\sin\left(n^{-1}\right)}{n^{-1}}\ &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sin\left(x^{-1}\right)}{x^{-1}}\qquad{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\qquad{\color{teal}{(t=x^{-1})}}\\[15pt] &= \ 1\end{align*}eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$p=1\le 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı  $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.

Toplamın ıraksaklığı:
Bu toplam ıraksak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\left(\dfrac1{n}\right)$$ toplamı ıraksak olur.

...