Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
$0$ noktasında $2^x$ kurallı fonksiyonun türevinin $\ln 2$ olduğunu kullanarak bu toplamı terimleri $1/n$ olan toplamla ilişkilendirebiliriz.
Terim limiti:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{2^{x^{-1}}-1}{n^{-1}}\ &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x^{-1}}-1}{x^{-1}}\qquad{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{2^t -1}{t}\qquad{\color{teal}{(t=x^{-1})}}\\[15pt] &= \ \ln 2\end{align*}eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$p=1\le 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.
Toplamın ıraksaklığı:
Bu toplam ıraksak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(2^{\frac1n}-1\right)$$ toplamı ıraksak olur.