Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(n^{11}+1)}{n^2}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplam direkt $p$-toplamları ile ilişkili olmasa da $\ln n$ ile $\sqrt n$ arasında bir eşitsizlik ve limitsel bir baskınlık mevcuttur. Bu limitsel baskınlık ile bir köprü kurarak bir $p$-toplam bulmabiliriz. Bu işlemleri yaptığımızda toplamın terimini, toplamı yaksınsak olan, $1/n^{3/2}$ ifadesinden küçük kılmış oluruz.

Direkt karşılaştırma testine uygun aday bulma:
Her $n\ge 2$ tam sayısı için $n^{11}+1\le n^{12}$ ve \begin{equation}\label{eq}0\le \frac{\ln(n^{11}+1)}{n^2}\le \frac{\ln(n^{12})}{n^2}=12\cdot \frac{\ln n}{n^2}\end{equation}eşitsizliğini elde ederiz.

Limit karşılaştırma testi için uygun limit bulma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^{3/2}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{12\cdot \frac{\ln n}{n^2}}{n^{-3/2}}\ &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{12\cdot \frac{\ln x}{x^2}}{x^{-3/2}}\qquad{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{12\ln x}{x^{1/2}}\qquad{\color{teal}{(\infty/\infty)}}\\[15pt] &\stackrel{l'h}{=} \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{12x^{-1}}{\frac12 x^{-1/2}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{24}{x^{1/2}}\\[15pt] &= \ 0\end{align*}eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı ve sonuç:
$p=3/2\ge 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}^{3/2}$$ toplamı $p$-seri testi gereği yakınsaktır.

Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği,  $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty  12\cdot \frac{\ln n}{n^2}$$ toplamının yakınsak olur.

Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği,  $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\ln(n^{11}+1)}{n^2}$$ toplamının yakınsak olur.

...