Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2^{-n}+\sin n+\cos n+3)^n}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Toplamı basitleştirmek istersek payda $1$ basit bir biçimde duruyor. 

Paydadaki ifadenin iç kısmındaki ifadeler sınırlı ifadelerdir.

Basit bir yaklaşım ile üstten $0+(-1)+(-1)+3$ ile sınırlı olduğunu gösterebiliriz. Bu şekilde basit bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı terimlerini üstten $1^n$ ile sınırlamış oluruz. Bu üstten sınır bize pek bir bilgi vermez.

İç ifade için verdiğimiz basit üst sınırı küçültebilirsek toplamın yakınsaklığını gösterebiliriz. Tirgonometrik toplam olan $\sin n+\cos n$ için alt sınırı $(-1)+(-1)$ olarak almış olsak da bu sınırdan daha iyisi mevcuttur. Bu da $-\sqrt2$ değeridir.

(Klasikleşmiş) Bir trigonometrik eşitsizlik:
Sınırlamak istediğimiz ifadeyi düzenlersek \begin{align*}\sin n+\cos n \ &=  \ \sqrt2\cdot \left(\frac1{\sqrt2}\cdot \sin n+\frac1{\sqrt2}\cdot \cos n\right)\\[15pt] &= \ \sqrt2\cdot \left(\sin\frac\pi4\cdot \sin n+\cos\frac\pi4\cdot \cos n\right)\\[15pt] &= \ \sqrt2\cdot \cos\left(n-\frac\pi4\right)\end{align*} eşitiği sağlanır. $\cos$ fonksiyonu $-1$ ile $1$ arasında değerler aldığından sınırlamak istediğimiz ifade $-\sqrt2$ ile $\sqrt2$ arasında olur.

Direkt karşılaştırma testi için aday:
Her $n$ pozitif tam sayısı için  $-\sqrt2<\cos n+\sin n$ ve $0<2^{-n}$ eşitsizlikleri sağlanır, ve  \begin{equation}\label{eq}0 \leq  \dfrac{1}{(2^{-n}+\sin n+\cos n+3)^n}\leq  \dfrac{1}{(0+(-\sqrt2)+3)^n}=\left(\frac1{3-\sqrt2}\right)^n\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz. 

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı ve sonuç:
$|1/(3-\sqrt2)|< 1$ olduğundan geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3-\sqrt2}\right)^n$$ toplamı yakınsak olur. 

Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2^{-n}+\sin n+\cos n+3)^n}$$ toplamının yakınsak olur.

...