Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplam direkt $p$-toplamları ile ilişkili olmasa da $\sin n$ ile $n$ arasında bir eşitsizlik mevcuttur. Bu ilişkiyi kullanarak toplamın terimini, toplamı yaksınsak olan, $1/n^2$ ifadesinden küçük kılmış oluruz.
Direkt karşılaştırma testi için aday:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere $0<n/(n^2+1)<1<\frac\pi2$ ve $\sin n< n$ olduğundan \begin{equation}\label{eq} 0\le \frac{n}{n^2+1}\cdot \sin\left(\frac{n}{n^2+1}\right)\le \frac{n}{n^2+1}\cdot \frac{n}{n^2+1}=\frac{n^2}{(n^2+1)^2} \end{equation} eşitsizliği sağlanır.
Limit karşılaştırma testi için aday:
Direkt karşılaştırma testine aday toplama terimi $1/n^{2}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. Terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{n^2}{(n^2+1)^2} }{\dfrac1{n^{2}}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^4}{(n^2+1)^2} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{(1+n^{-2})^2}\\[15pt] &= \ \frac{1}{(1+0)^2}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı ve sonuç:
$p=2\ge 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}^{2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{n^2}{(n^2+1)^2}$$ toplamının yakınsak olur.
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^2+1}\sin\left(\frac{n}{n^2+1}\right)$$ toplamının yakınsak olur.