$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değerine $L$ ve $g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değerine $M$ diyelim. Amacımız $f+g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değerinin $L+M$ olduğunu göstermektir.
Bir $\epsilon>0$ alalım.
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değeri $L$ olduğundan, limit tanımı gereği, $\epsilon/2>0$ (seçimi) için öyle $\delta_1>0$ değeri vardır ki $0<|x-a|<\delta_1$ ve $x\in A$ olduğunda $$|f(x)-L|<\epsilon/2$$ eşitsizliği sağlanır.
Benzer bir şekilde $g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değeri $M$ olduğundan, limit tanımı gereği, $\epsilon/2>0$ (seçimi) için öyle $\delta_2>0$ değeri vardır ki $0<|x-a|<\delta_2$ ve $x\in A$ olduğunda $$|g(x)-L|<\epsilon/2$$ eşitsizliği sağlanır.
$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}>0$ olarak tanımlayalım. Bu tanım ile $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda $$|f(x)-L|<\epsilon/2 \;\;\;\text{ ve }\;\;\; |g(x)-M|<\epsilon/2$$ eşitsizlikleri sağlanır. Dolayısıyla $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda\begin{align*}\color{blue}{|(f+g)(x)-(L+M)|}&=\left|\left(f(x)-L\right)+\left(g(x)-M\right)\right|\\[7pt] &\le |f(x)-L|+|g(x)-M|\\[7pt] &\color{blue}{<}\epsilon/2+\epsilon/2\\[7pt] &=\color{blue}{\epsilon}\end{align*}eşitsizliği sağlanır.