Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Diziler kategorisinde tarafından
\[\lim\limits_{n\to \infty} n\left(\frac\pi2-\arctan n\right)\] limitinin değerini (varsa) bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fonksiyonel limit:
$f: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı\[f(x)= x\left(\frac\pi2-\arctan x\right)\] olacak şekilde tanımlayalım. Bu fonksiyon için\begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty} f(x) &= \lim\limits_{x\to \infty} x\left(\frac\pi2-\arctan x\right) \\[15pt]&= \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\frac\pi2-\arctan x}{x^{-1}}\qquad{\color{teal}{(0/0)}}\\[15pt]&\stackrel{l'h}{=} \lim\limits_{x\to \infty} \frac{0-(x^2+1)^{-1}}{-x^{-2}}\\[15pt]&= \lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^2}{x^2+1}\\[15pt]&= \lim\limits_{x\to \infty} \frac{1}{1+x^{-2}}\\[15pt]&= \frac{1}{1+0}\\[15pt]&= 1\end{align*}eşitliği sağlanır.

Dizisel limit:
Bu limit değeri var olduğundan ve her $n\ge 1$ tam sayısı için \[f(n)= n\left(\frac\pi2-\arctan n\right)\] eşitliği sağlandığından, dizi-fonksiyon limit ilişkisi ile, \[\lim\limits_{n\to \infty}  n\left(\frac\pi2-\arctan n\right)=\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=1\] eşitliğini elde ederiz.

...