+1 oy
Diziler kategorisinde tarafından
\[\lim\limits_{n\to \infty} n\ln \left(1+\frac{\pi}n\right)\] limitinin değerini (varsa) bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fonksiyonel limit:
$f: \mathbb R_+ \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı\[f(x)= x\ln \left(1+\frac{\pi}x\right)\] olacak şekilde tanımlayalım. Bu fonksiyon için\begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty} f(x) &= \lim\limits_{x\to \infty} x\ln \left(1+\frac{\pi}x\right) \\[15pt]&= \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln \left(1+\pi x^{-1}\right)}{x^{-1}}\qquad{\color{teal}{(0/0)}}\\[15pt]&\stackrel{l'h}{=} \lim\limits_{x\to \infty} \frac{(0-\pi x^{-2}): (1+\pi x^{-1})}{-x^{-2}}\\[15pt]&= \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\pi}{1+\pi x^{-1}}\\[15pt]&= \frac{\pi}{1+\pi \cdot 0}\\[15pt]&= \pi\end{align*}eşitliği sağlanır.

Dizisel limit:
Bu limit değeri var olduğundan ve her $n\ge 1$ tam sayısı için \[f(n)= n\ln \left(1+\frac{\pi}n\right)\] eşitliği sağlandığından, dizi-fonksiyon limit ilişkisi ile, \[\lim\limits_{n\to \infty} n\ln \left(1+\frac{\pi}n\right)=\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=\pi\] eşitliğini elde ederiz.

...