Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
\[\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n-2^n}{5^n}\]  toplamını hesaplayınız.

1 cevap

0 oy
tarafından

Toplamı geometrik toplamların farkı olarak yazma:
Toplam içersindeki terimleri düzenlersek, toplamı \begin{align*}\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n-2^n}{5^n} &=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3^n}{5^n}-\frac{2^n}{5^n}\right)\\[15pt]&=\sum_{n=0}^\infty \left(\left(\frac{3}{5}\right)^n-\left(\frac{2}{5}\right)^n\right) \end{align*}olarak ifade edebiliriz.

Ayrı ayrı hesaplama:
Geometrik toplamları hesaplamasını biliyoruz. Bu toplamları hesaplamak için verilen eşitliği kullanırsak  \[\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{3}{5}\right)^n=\frac1{1-(3/5)}=\frac52\ \ \ \text{ ve } \ \ \  \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{5}\right)^n=\frac1{1-(2/5)}=\frac53\] eşitliklerini elde ederiz.

Toplamı hesaplama:
Bu iki toplam yakınsak olduğundn farkları ile elde edeceğimiz toplam da yakınsak olur ve $$\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n-2^n}{5^n}\ =\ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3}{5}\right)^n- \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{5}\right)^n\ =\ \frac52-\frac53\ = \ \frac56$$ eşitliği sağlanır.

...