Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n+1}{3^n+1}\]toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplam teriminin pay ve paydasındaki en güçlü terim ile ilgilenirsek iç ifadenin limitsel olarak geometrik toplam terimi olan $(2/3)^n$ ile ilişkili olduğunu görürürüz.

Limit alma:
Toplamımıza iç terimi $(2/3)^n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(2^n+1)/(3^n+1)}{(2/3)^n} \ &= \ \lim\limits_{n\to \infty} \frac{1+(1/2)^n}{1+(1/3)^n}\\[15 pt]&=\ \frac{1+0}{1+0}\\[15pt]&= \ 1\end{align*}eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$|2/3|< 1$ olduğundan, geometrik toplam olan, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac23\right)^n$$ toplamı yakınsar.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{2^n+1}{3^n+1}$$ toplamı yakınsak olur.

...