Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{\arctan n}{\sqrt{1+n^2}}\]toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplam teriminin payı sınırlı bir ifade ve paydasındaki en güçlü terim ise  $\sqrt{n^2}$ olur.  Bu şekilde iç ifade limitsel olarak terimi $1/n$ olan toplam ile ilişkili olur.

Limit alma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek\begin{align*}\lim\limits_{n\to \infty} \frac{\frac{\arctan n}{\sqrt{1+n^2}}}{n^{-1}}&=  \lim\limits_{n\to \infty} \frac{n\cdot \arctan n}{\sqrt{1+n^2}}\\[15pt]&=  \lim\limits_{n\to \infty} \frac{\arctan n}{\sqrt{n^{-2}+1}}\\[15pt]&=\frac{\pi/2}{\sqrt{0+1}}\\[15pt]&=  \frac\pi2\end{align*}eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$1\le  1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1n$$ toplamı $p$-toplam testi gereği ıraksar.

Toplamın ıraksaklığı:
Bu toplam ıraksak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\arctan n}{\sqrt{1+n^2}}$$ toplamı ıraksak olur.

...