Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=2}^\infty  \frac{1}{\ln n^{\ln n}}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
İfadeyi $e^{\ln n}=n$ eşitliğini kullanarak $p$-toplamları ile ilişkilendirebiliriz.

Direkt karşılaştırma testi için bir eşitsizlik:
Her $n>e^{e^2}$ pozitif tam sayısı için $\ln n \ge e^2$ sağlanır ve \begin{align*}\ln n^{\ln n}\ge (e^2)^{\ln n}=e^{2\ln n}=e^{\ln (n^2)}=n^2\end{align*} eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizlik de bize \begin{equation}\label{eq}0\le\frac{1}{\ln n^{\ln n}}\le \frac1{n^2} \end{equation}eşitsizliğini verir.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığısaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı  $p$-toplam testi gereği yakınsar. 

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln n^{\ln n}}$$ toplamı yakınsak olur.

...