Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty  n^3\ln\left(1+\frac1{3^n}\right)$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
İfadeyi basitleştirmek için $\ln(1+x)$ ile $x$ arasındaki eşitsizlik ilişkisini kullanabiliriz ve oran testine uygun yakınsak bir toplam elde edebiliriz.

Direkt karşılaştırma testi için bir eşitsizlik:
Her $x$ pozitif gerçel sayısı için $\ln(1+x)\le x$ eşitsizliği sağlandığından \begin{equation}\label{eq}0 \le n^3\ln\left(1+\frac1{3^n}\right) \le \frac{n^3}{3^n} \end{equation}eşitsizliğini elde ederiz.

Oran testi ile yakınsaklığı gösterme:
$a_n=n^3\cdot 3^{-n}$ olmak üzere \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|&=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(n+1)^3\cdot 3^{-(n+1)}}{n^3\cdot 3^{-n}}\\[5pt]&=\lim\limits_{n \to \infty}\frac13\left(\frac{n+1}{n}\right)^3\\[5pt]&=\lim\limits_{n \to \infty}\frac13\left(1+n^{-1}\right)^3\\[5pt]&=\frac13\cdot (1+0)^3\\[5pt]&=\frac13\end{align*}eşitliği sağlanır.

$1/3<1$ olduğundan, oran testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{3^n}$$ toplamı yakınsar.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty n^3\ln\left(1+\frac1{3^n}\right) $$ toplamı yakınsak olur.

______________________

Ek:
Negatif olmayan gerçel sayılar üzerinde $f(x)=x-\ln (1+x)$ kurallı $f$ fonksiyonunu tanımlarsak $f(0)=0$ eşitliği ve \[f^\prime(x)=1-\frac1{x+1}\ge 0\] eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla her $x$ pozitif gerçel sayısı için \[x-\ln (1+x)\ge 0 \ \ \ \text{ yani}  \ \ \ \ln (1+x) \le x\]eşitsizliği sağlanır.

...