Bir İspat Fikri:
Amacımız $|(f\cdot g)(x)-L\cdot M|$ değerini $\epsilon$ ile üstten sınırlamaktır. Bu ifadeyi verilenlerle ilişkilendirmek için \begin{align*}|f(x)\cdot g(x)-L\cdot g(x)&+L\cdot g(x) -L\cdot M|\\[7pt]&=\left|\left(f(x)-L\right)\cdot g(x)+L\cdot \left(g(x)-M\right)\right|\end{align*} olarak yazalım ve üçgen eşitsizliği ile bu ifadeyi $$ |f(x)-L|\cdot |g(x)|+|L|\cdot|g(x)-M|$$ ile üsten sınırlayalım. $g$ fonksiyonu $a$ noktasının bir civarında sınırlı olduğundan (genel olarak bu üst sınırı $1+|M|$ olarak seçeriz) ifadeyi $\epsilon$ ile üstten sınırlayabiliriz.
İspat:
Bir $\epsilon>0$ alalım.
(1) $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değeri $L$ olduğundan, limit tanımı gereği, $\epsilon/(1+|L|+|M|)>0$ (seçimi) için öyle $\delta_1>0$ değeri vardır ki $0<|x-a|<\delta_1$ ve $x\in A$ olduğunda $$|f(x)-L|<\epsilon/(1+|L|+|M|)$$ eşitsizliği sağlanır.
(2) $g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değeri $M$ olduğundan, limit tanımı gereği, $\epsilon/(1+|L|+|M|)>0$ (seçimi) için öyle $\delta_2>0$ değeri vardır ki $0<|x-a|<\delta_2$ ve $x\in A$ olduğunda $$|g(x)-L|<\epsilon/(1+|L|+|M|)$$ eşitsizliği sağlanır.
(3 - Sık kullanılan bir üst sınır ve elde edilişi) $g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değeri $M$ olduğundan, limit tanımı gereği, $1>0$ (seçimi) için öyle $\delta_3>0$ değeri vardır ki $0<|x-a|<\delta_3$ ve $x\in A$ olduğunda $$|g(x)-M|<1$$ sağlanır; üçgen eşitsizliği ile $$|g(x)|=|(g(x)-M)+M|=|g(x)-M|+|M|<1+|M|$$ olduğunu elde ederiz; ve eşitsizliğin uç ifadeleri bize $$|g(x)|<1+|M|$$ eşitsizliği verir.
$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}>0$ olarak tanımlayalım. Bu tanım ile $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda $$|f(x)-L|<\epsilon/(1+|L|+|M|), \;\;\;\;\;\; |g(x)-M|<\epsilon/(1+|L|+|M|)$$$$\text{ ve }\;\;\; |g(x)|<1+|M|$$ eşitsizlikleri sağlanır. Dolayısıyla $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda\begin{align*}\color{blue}{|(f\cdot g)(x)-L\cdot M|}&=\left|f(x)\cdot g(x)-L\cdot g(x)+L\cdot g(x) -L\cdot M\right|\\[7pt]&=\left|\left(f(x)-L\right)\cdot g(x)+L\cdot \left(g(x)-M\right)\right|\\[7pt] &\le |f(x)-L|\cdot |g(x)|+|L|\cdot|g(x)-M|\\[7pt] &\color{blue}{<}\frac{\epsilon}{1+|L|+|M|}\cdot (1+|M|)+|L|\cdot \frac{\epsilon}{1+|L|+|M|}\\[7pt] &=\color{blue}{\epsilon}\end{align*}eşitsizliği sağlanır.