$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ yakınsak ise $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty e^{a_n}$ toplamının yakınsaklığı

Question

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ yakınsak ise $$\sum_{n=1}^\infty e^{a_n}$$ toplamının yakısaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir ve Analiz:
Yakınsak bir toplamın terim limiti $0$ olduğundan, $a_n$ limiti $0$ olur ve dolayısıyla istenen toplamdaki $e^{a_n}$ teriminin limiti $1$ olur.

Bu limit değeri $0$ olmadığından, sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.

Yakınsaklık ile terim limiti bilgisi:
$\sum_{n=1}^\infty a_n$ yakınsak ise $$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$$ eşitliği sağlanır.

Iraksakık testi için limit:
$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$ ve $e^x$ fonksiyonu sıfır noktasında sürekli olduğundan $$\lim\limits_{n\to \infty} e^{a_n}=e^0=1$$ eşitliği sağlanır.

Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfır olmadığından, Iraksaklık testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty e^{a_n}$$ toplamı ıraksar.