1+2+...+n toplamı:
Bu toplamın kapalı formülü $$\frac{n(n+1)}{2}$$ ifadesidir.
Toplamın yeni hali:
Bu eşit ifadeyi toplamda yerine yazarsak, toplamımız $$\sum_{n=7}^\infty \frac{2}{n(n+1)}$$ olur.
Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.
Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 7$ için $$\dfrac{2}{n(n+1)}=\dfrac2n-\dfrac2{n+1}$$ eşitliği sağlanır.
Parça toplam:$\require{cancel}$
$k\ge 7$ için \begin{align*}\sum_{n=7}^k \dfrac{2}{n(n+1)}\ &= \ \sum_{n=7}^k \left(\dfrac2n-\dfrac2{n+1}\right) \\[10pt] &= \ \left(\frac27-\cancel{\frac28}\right)\\ &\ \ +\left(\cancel{\frac28}-\cancel{\frac29}\right)\\ &\ \ +\left(\cancel{\frac29}-\cancel{\frac2{10}}\right)\\ &\ \ \, +\\ &\ \ \ \vdots\\ &\ \ +\left(\cancel{\frac2k}-\frac2{k+1}\right)\\[10pt] &=\ \frac27-\frac2{k+1}\end{align*}eşitliği sağlanır.
Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=7}^\infty \frac{1}{1+2+\cdots+n}\ = \ \sum_{n=7}^\infty \dfrac{2}{n(n+1)} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=7}^k \dfrac{2}{n(n+1)}\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \left(\frac27-\frac2{k+1}\right)\\[10pt] &= \ \frac27-0\\[10pt] &= \ \frac27\end{align*} eşitliğini elde ederiz.