$a_n=\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac1{k!}$ olmak üzere $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ toplamının yakınsaklığı

Question

Her $n$ pozitif tam sayısı için $a_n=\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac1{k!}$ olmak üzere  $$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Toplamın terim limiti $e$ olduğundan, yani $0$ olmadığından, sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.

Terim limit için gerekli bilgi:
Her $x$ gerçel sayısı için $$e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^k}{k!}$$ eşitliği sağlanır. Özel olarak $$e=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac1{k!}$$ eşitliğini elde ederiz.  

Terim limiti:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda  \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty} a_n \ = \ \lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n}\dfrac1{k!}\ = \ \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac1{k!} = e \end{align*} eşitliği sağlanır.

Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfırdan faklı olduğundan, ıraksaklık testi gereği, her $n$ pozitif tam sayısı için $a_n=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac1{k!}$ olmak üzere $$\sum_{n=1}^\infty a_n$$ toplamı ıraksar.

Answer 2

Fikir:
Bu toplamın terimleri alttan $1$ ile sınırlı olduğundan limiti varsa $\ge1$ olmalı. Bu bilgi limitin sıfır olamayacağını verir ve sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.

Terim limitin sıfır olmaması:
$\{a_n\}$ dizisinin limiti varsa $a_n\ge \dfrac1{0!}=1$ olduğundan, baskınlık özelliği gereği, limit $1$ değerinden büyük eşit olur. Dolayısıyla limiti $0$ olamaz.

Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfır olmadığından, ıraksaklık testi gereği, her $n$ pozitif tam sayısı için $a_n=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac1{k!}$ olmak üzere $$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$$ toplamı ıraksar.