Question

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ne^{-n^2}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Sonsuzda $e^x$ üssel fonksiyonu her polinomdan, özel olarak $x^2$'ten, güçlü olduğundan ve limit $0$ çıkacağından toplamı $1/n^2$ ile ilişkilendirebiliriz. 

Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ne^{-n^2}}{\frac1{n^2}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\ \frac{n^3}{e^{n^2}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^3}{e^{x^2}} \qquad(\text{Gerçel tanım kümeli hale getirme})\\[15pt] &= \ \lim\limits_{t \to \infty}\frac{t^{3/2}}{e^{t}}\qquad (t=x^2 \text{ dönüşümü})\\[15pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \ \lim\limits_{t \to \infty}\frac{\frac32t^{1/2}}{e^{t}}\\[15pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \ \lim\limits_{t \to \infty}\frac{\frac34t^{-1/2}}{e^{t}}\\[15pt]&= \ \lim\limits_{t \to \infty}\frac{3}{4\sqrt te^{t}}\\[15pt] &=0\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p=2 > 1$ olduğundan,  $p$-seri testi gereği yakınsaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty ne^{-n^2}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.

Answer 2

Fikir:
Verilen toplamdaki terimlerin doğal fonksiyon halinin integralini almak mümkün. Bu nedenle verilen toplam için integral testini uygulayabiliriz. 

İntegral testini uygulayabilmek için
ilgili fonksiyonun, bir yerden sonra,
pozitif,
sürekli ve
azalan
olması gerekiyor.

Bu şartların sağlandığını göstermeden integral testini uygulayamayız.

__________________________________

Şartların sağlandığını gösterme:
İlgili fonksiyon:
Verilen toplamın terimlerini $[1,\infty)$ üzerinde $$f(x)=xe^{-x^2}$$ kurallı fonksiyon ile ilişkilendireceğiz.

Pozitiflik:
$x\ge 1$ için $x>0$ ve $e^{-x^2}>0$ olduğundan $$xe^{-x^2}>0$$ olur.

Süreklilik:
$x\ge 1$ için $x$ ve $e^{-x^2}$ fonksiyonları sürekli olduğundan $$e^{-x^2}$$ fonksiyonu sürekli olur.

Azalanlık:
Verilen fonksiyonun türevini alırsak, $x\ge 1$ değerleri için, $$f^\prime (x) \ = \ 1\cdot e^{-x^2}+x\cdot (-2xe^{-x^2}) \ = \ e^{-x^2}(1-2x^2)\ <\ 0$$ eşitsizliği sağlanır ve $f$ fonksiyonu $[1,\infty)$ üzerinde azalan olur.

Test için istenen şartlar sağlandığına göre integral testini uygulayabiliriz.

__________________________________________

İntegral hesabı:
Belirsiz integral olarak elimizde \begin{align*} \int xe^{-x^2}\ dx \ &= \ \int -\frac12e^{u} \ du \qquad\qquad\begin{pmatrix} u\ &=\ &-x^2 \\[5pt] du \ &= \ &-2x\ dx \end{pmatrix}\\[10pt] &= \ -\frac12e^{u}+c\\[10pt] &= \ -\frac12e^{-x^2}+c\end{align*} eşitliği var. Dolayısıyla \begin{align*} \int_0^\infty xe^{-x^2}\ dx \ &= \lim_{R \to \infty}\int_0^R xe^{-x^2}\ dx \\[10pt] &= \ \lim_{R \to \infty}\left(-\frac12e^{-x^2}\right)\bigg|_0^R\\[10pt] &= \ \lim_{R \to \infty}\frac12\left(1-e^{-R^2}\right)\\[10pt] &= \ \frac12(1-0)\\[10pt] &= \ \frac12\end{align*} eşitliği sağlanır.

Toplamın yakınsaklığı:
İlişkili integralimiz yakınsak olduğundan, integral testi gereği, istenen $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty ne^{-n^2}$$ toplamı da yakınsar.