Question

$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt n +\sqrt{n+1}}$$ toplamının değerini bulunuz.

Answer 1

Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.

Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için \begin{align*} \dfrac{1}{\sqrt n +\sqrt{n+1}}\ &= \ \dfrac{1}{\sqrt n +\sqrt{n+1}}\cdot \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}\\[15pt] &=\  \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{(n+1)-n}\\[15pt] &=\ \sqrt{n+1}-\sqrt n \end{align*} eşitliği sağlanır. 

Parça toplam:
$k\ge 1$ için \begin{align*}\require{cancel}\sum_{n=1}^k \dfrac{1}{\sqrt n +\sqrt{n+1}}\ &= \ \sum_{n=1}^k \left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right) \\[10pt] &= \ \left(\cancel{\sqrt 2}-1\right)\\ &\  \ +\left(\cancel{\sqrt 3}-\cancel{\sqrt2}\right)\\ &\  \ +\left(\cancel{\sqrt4}-\cancel{\sqrt3}\right)\\ &\  \ \ + \\ &\  \ \ \vdots\\ &\  \ +\left(\sqrt{k+1}-\cancel{\sqrt k}\right)\\[10pt] &=\ \sqrt{k+1}-1\end{align*}eşitliği sağlanır.

Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt n +\sqrt{n+1}} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \dfrac{1}{\sqrt n +\sqrt{n+1}} \\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \left(\sqrt{k+1}-1\right)\\[10pt] &= \ \infty\end{align*} eşitliğini elde ederiz. Dolayısıyla toplamımız sonsuza ıraksar.

Answer 2

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Paydaki ve paydadaki (basit olarak) en güçlü terim, sırasıyla, $1$ ve $\sqrt n$ olduğundan $1/\sqrt n$ ile limit karşılaştırma testini uygulayabiliriz.

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/\sqrt n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1}{\sqrt n +\sqrt{n+1}}}{\dfrac1{\sqrt{n}}}\ &= \ \lim_{n \to \infty}\dfrac{ \sqrt n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \\[15pt] \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{1+\sqrt{1+\frac1n}} \\[15pt]&= \ \frac{1}{1+\sqrt{1+0}} \\[15pt] &= \ \frac12\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{ \sqrt n}$$ toplamı, $p=\frac12\leq 1$ olduğundan,  $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt n +\sqrt{n+1}}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, sonsuza ıraksak olur.