+1 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}$$ toplamının değerini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.

Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için $$\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac1{n(n+1)}-\dfrac1{(n+1)(n+2)}\right)$$ eşitliği sağlanır. 

Parça toplam:
$k\ge 1$ için \begin{align*}\require{cancel}\sum_{n=1}^k \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}\ &= \ \sum_{n=1}^k \frac12\left(\dfrac1{n(n+1)}-\dfrac1{(n+1)(n+2)}\right) \\[10pt] &= \ \frac12\left(\frac1{1\cdot 2}-\cancel{\frac1{2\cdot 3}}\right)\\ &\ \ +\frac12\left(\cancel{\frac1{2\cdot 3}}-\cancel{\frac1{3\cdot 4}}\right)\\ &\ \ +\frac12\left(\cancel{\frac1{3\cdot 4}}-\cancel{\frac1{4\cdot 5}}\right)\\ &\ \ \, + \\ &\ \ \ \vdots\\ &\ \ +\frac12\left(\cancel{\frac1{k(k+1)}}-\frac1{(k+1)(k+2)}\right)\\[10pt] &=\frac12\ \left(\frac12-\frac1{(k+1)(k+2)}\right)\end{align*}eşitliği sağlanır.

Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \frac12\left(\frac12-\frac1{(k+1)(k+2)}\right)\\[10pt] &= \ \frac12\left(\frac12-0\right)\\[10pt] &= \ \frac14\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

...