Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.
Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için $$\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)\cdots(n+m)}=\dfrac{1}{m}\left(\dfrac1{n(n+1)\cdots(n+m-1)}-\dfrac1{(n+1)(n+2)\cdots(n+m)}\right)$$ eşitliği sağlanır.
Parça toplam:
$k\ge 1$ için \begin{align*}\require{cancel}\sum_{n=1}^k&\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)\cdots(n+m)}\ \\[10pt] &= \ \sum_{n=1}^k \dfrac{1}{m}\left(\dfrac1{n(n+1)\cdots(n+m-1)}-\dfrac1{(n+1)(n+2)\cdots(n+m)}\right) \\[10pt] &= \ \frac1m\left(\frac1{1\cdot 2\cdots m}-\cancel{\frac1{2\cdot 3\cdots (m+1)}}\right)\\ &\ \ +\frac1m\left(\cancel{\frac1{2\cdot 3\cdots(m+1)}}-\cancel{\frac1{3\cdot 4\cdots(m+2)}}\right)\\ &\ \ +\frac1m\left(\cancel{\frac1{3\cdot 4\cdots(m+2)}}-\cancel{\frac1{4\cdot 5\cdots(m+3)}}\right)\\ &\ \ \, + \\ &\ \ \ \vdots\\ &\ \ +\frac12\left(\cancel{\frac1{k(k+1)\cdots(k+m-1)}}-\frac1{(k+1)(k+2)\cdots(k+m)}\right)\\[10pt] &=\frac1m\ \left(\frac1{m!}-\frac1{(k+1)(k+2)\cdots(k+m)}\right)\end{align*}eşitliği sağlanır.
Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+1)\cdots(n+m)} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \dfrac{1}{n(n+1)\cdots(n+m)}\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \frac1m\ \left(\frac1{m!}-\frac1{(k+1)(k+2)\cdots(k+m)}\right)\\[10pt] &= \ \frac1m\ \left(\frac1{m!}-0\right)\\[10pt] &= \ \frac1{m\cdot m!}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
___________________________________
Not: Burada $m=1$ ve $m=2$ için $\cdots$sal yazım pek makul olmasa da yazımsal olarak anlaşılır olduğundan o adımlar ayrılmamıştır. Burada, örneğin, $n(n+1)\cdots (n+m)$ yerine matematiksel olarak $\prod\limits_{i=0}^m(n+i)$ yazımının olduğunu düşünebilirsiniz. Anlaşılması daha kolay olması nedeniyle $\cdots$lı yazım tercih edildi.