$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2^{1/n}}{n^2}$ toplamının yakınsaklığı

Question

$$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{2^{1/n}}{n^2}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Payda olan $2^{1/n}$ sınırlı bir ifadedir ve alttan $1$ üstten $2$ ile sınırlıdır.  Paydada olan $n^2$ basit bir biçimde duruyor. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı, basit hali ile, terimleri $1/n^2$ olan toplam ile ilişkilendirmiş oluruz. Bu toplam $p$-toplam testi gereği yakınsak bir toplam olduğundan karşılaştırma testine uygun olarak $1/n^2$ terimli toplamla ilgilenmeliyiz.

Direkt karşılaştırma testi için uygun bireşitsizlik bulma:
Her $n$ pozitif tam sayısı için  $\leq 2^{1/n}\le 2^1=2 $ eşitliği sağlanır ve  $$0<\frac{2^{1/n}}{n^2}\le \frac2{n^2} $$ eşitsizliğini elde ederiz.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$ toplamı, $p=2 >1$ olduğundan,  $p$-seri testi gereği yakınsar. Sabit çarpım yakınsaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac2{n^2}$$ toplamı da yakınsar.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty  \frac{2^{1/n}}{n^2}$$toplamı da yakınsak olur.

Answer 2

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Payda olan $2^{1/n}$ sonsuzda limiti $1$ olan bir dizi ve  paydada olan $n^2$ basit bir biçimde duruyor. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı, basit hali ile, terimleri $1/n^2$ olan toplam ile ilişkilendirmiş oluruz. Bu toplam $p$-toplam testi gereği yakınsak bir toplam olduğundan karşılaştırma testine uygun olarak $1/n^2$ terimli toplamla ilgilenmeliyiz.

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \frac{2^{1/n}}{n^2}}{\dfrac1{n^2}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}2^{1/n} \\[15pt] &= \ 2^0\\[15pt]  &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:

$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p=2>1$ olduğundan,  $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:

Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{1/n}}{n^2}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.