$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n^6-1}}{n^5+5}$ toplamının yakınsaklığı

Question

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n^6-1}}{n^5+5}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Toplamı basitleştirmek istersek paydaki en güçlü terim olan $\sqrt{n^6}$ yani $n^3$ ve paydadaki en güçlü terim olan $n^5$ ile ilgilenmeliyiz. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{\sqrt{n^6-1}}{n^5+5}}{\dfrac1{n^2}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2\sqrt{n^6-1}}{n^5+5} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt{1-n^{-6}}}{1+5n^{-5}}\\[15pt] &= \ \frac{\sqrt{1-0}}{1+5\cdot 0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı  $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt{n^6-1}}{n^5+5}$$ pozitif toplamımız, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.

Answer 2

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Direkt karşılaştırma testi için aday:
Her $n\ge 1$ pozitif tam sayısı için  $n^3=\sqrt{n^6}\ge \sqrt{n^6-1}\ge 0$ ve $0<n^5<n^5+5$ eşitsizliği sağlanır ve  \begin{equation}\label{eq}0 \leq  \dfrac{\sqrt{n^6-1}}{n^5+5} \leq  \dfrac{n^3}{n^5}=\frac1{n^2}\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2\ge 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{2}}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği,  $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt{n^6-1}}{n^5+5}$$ toplamı yakınsak olur.