0 oy
Limit kategorisinde tarafından
Limitin $\epsilon-\delta$ tanımını kullarak aşağıdaki önermeyi ispatlayınız.

$f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $f(x)=x^2$ olarak verilsin. $a$ bir gerçel sayı olmak üzere \[\lim_{x \to a}f(x)=a^2\] eşitliği sağlanır.

1 cevap

0 oy
tarafından

Kurmamız gereken cümlenin kalıbı:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta= \cdots >0$ seçersek $0<|x-a|<\delta$ olduğunda $$|f(x)-a^2|= \cdots <\epsilon$$ sağlanır.

Yapmamız gereken:
Alt boşluğu doldurarak eşitsizliği delta seçimine uygun bir forma getirmektir ve bu uygun form ile uygun deltayı seçmektir.

Alt boşluğu doldurma:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta= \cdots >0$ seçersek $0<|x-a|<\delta$ olduğunda \begin{align*}|f(x)-a^2|&= |x^2-a^2|\\[5pt]&= |(x-a)\cdot (x+a)|\\[5pt]&=|x-a|\cdot |x+a|\\[5pt]&=|x-a|\cdot |x-a+2a|\\[5pt]&\le|x-a|\cdot \left(|x-a|+|2a|\right)\\[5pt]&<\delta\cdot \left(\delta+2|a|\right)\\[5pt]&=(\delta+|a|)^2-a^2\end{align*} sağlanır.

Uygun deltayı seçme:
İsteğimiz $|f(x)-a^2|<\epsilon$ olduğunu göstermektir. Elimizde $ |f(x)-a^2|<(\delta+|a|)^2-a^2$ eşitsizliği var. Bu eşitsizliği kullanabilmek için \[(\delta+|a|)^2-a^2= \epsilon\] şartını sağlayan pozitif deltayı seçebiliriz.

$\delta=\sqrt{\epsilon+a^2}-|a|$ seçimine göre ispat:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta= \sqrt{\epsilon+a^2}-|a|>0$ seçersek $0<|x-a|<\delta$ olduğunda \begin{align*}|f(x)-a^2|&= |x^2-a^2|\\[5pt]&= |(x-a)\cdot (x+a)|\\[5pt]&=|x-a|\cdot |x+a|\\[5pt]&=|x-a|\cdot |x-a+2a|\\[5pt]&\le|x-a|\cdot \left(|x-a|+|2a|\right)\\[5pt]&<\delta\cdot \left(\delta+2|a|\right)\\[5pt]&=(\delta+|a|)^2-a^2\\[5pt]&=\epsilon\end{align*} sağlanır.

Not: Deltayı üstteki adımlardaki gibi bulmak istediğimizde ikinci dereceden bir polinomun ters fonksiyonunu almaya çalıştık. Bu yöntem derece artsa bile işe yarar fakat gelen polinomum da derecesi artacağından ters almak zor olacaktır. Bu zorluğu gidermek için deltaya üstten $1$ gibi (fonksiyonun davranışına göre bu sayı değişebilir) bir sınır koyabiliriz. Bu şekilde derecesi yüksek delta cinsinden polinom elde etmek yerine (fonksiyona ve limit değerine bağlı olarak) deltanın bir sabit çarpımını elde ederiz. 

Deltayı üstten bir sayı ile sınırlamakta herhangi bri teknik sorun yoktur. Diyelim ki üstten $1$ ile sınırladık. Delta değeri $0.5$ gelirse bu sınırın bir anlamı olmaz. Delta değeri $\sqrt5$ gelirse $0<|x-a|<\sqrt5$ kümesinin elemanlarının sağladığı şart alt kümesi olan $0<|x-a|<1$ kümesinin elemanları tarafından da doğal olarak sağlanır.

Bu fikri bu soru için uygulayalım.

$\delta=\min\left\{1,\epsilon/(1+2|a|)\right\}$ seçimine göre ispat:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta= \min\left\{1,\epsilon/(1+2|a|)\right\}>0$ seçersek $0<|x-a|<\delta$ olduğunda \begin{align*}|f(x)-a^2|&= |x^2-a^2|\\[5pt]&= |(x-a)\cdot (x+a)|\\[5pt]&=|x-a|\cdot |x+a|\\[5pt]&=|x-a|\cdot |x-a+2a|\\[5pt]&\le|x-a|\cdot \left(|x-a|+|2a|\right)\\[5pt]&<\delta\cdot \left(\delta+2|a|\right)\\[5pt]&\le\delta\cdot \left(1+2|a|\right)\\[5pt]&\le\epsilon\end{align*} sağlanır.

...