$\lim\limits_{x \to 3}\left(5-\sqrt{x+6}\right)=2$ eşitliği ($\epsilon-\delta$ tanımı)

Question

Limitin $\epsilon-\delta$ tanımını kullarak aşağıdaki önermeyi ispatlayınız.

$f:\mathbb R_{\ge -6} \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $f(x)=5-\sqrt{x+6}$ olarak verilsin. \[\lim_{ x \to 3} f(x)=2\] eşitliği sağlanır.

Answer 1

Kurmamız gereken cümlenin kalıbı:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta= \cdots >0$ seçersek $0<|x-3|<\delta$ olduğunda $$\left|f(x)-2\right|= \cdots <\epsilon$$ sağlanır.

Yapmamız gereken:
Alt boşluğu doldurarak eşitsizliği delta seçimine uygun bir forma getirmektir ve bu uygun form ile uygun deltayı seçmektir. Tanım kümesi dışına çıkmamak için deltayı üstten $9$ ile sınırlayalım.

Alt boşluğu doldurma:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta=\min\left\{9, \cdots\right\}  >0$ seçersek $0<|x-3|<\delta$ olduğunda \begin{align*} \left|f(x)-2\right|&=\left|(5-\sqrt{x+6})-2\right|\\[11pt]&= \left|3-\sqrt{x+6}\right|\\[11pt]&=\left|\frac{9-(x+6)}{3+\sqrt{x+6}}\right|\\[11pt]&=\frac{|x-3|}{3+\sqrt{x+6}}\\[11pt]&<\frac{\delta}{3} \end{align*} sağlanır.

Uygun deltayı seçme:
İsteğimiz $\left|f(x)-2\right|<\epsilon$ olduğunu göstermektir. Elimizde $\left|f(x)-2\right|< \frac\delta{3}$ eşitsizliği var. Bu eşitsizliği kullanabilmek için \[\delta\le 3\epsilon\] olacak şekilde bir seçimini yapabiliriz. 

$\delta=\min\left\{9,3\epsilon\right\}$ seçimine göre ispat:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta=\min\left\{9,3\epsilon\right\}>0$ seçersek $0<|x-3|<\delta$ olduğunda \begin{align*}\left|f(x)-2\right|&=\left|(5-\sqrt{x+6})-2\right|\\[11pt]&= \left|3-\sqrt{x+6}\right|\\[11pt]&=\left|\frac{9-(x+6)}{3+\sqrt{x+6}}\right|\\[11pt]&=\frac{|x-3|}{3+\sqrt{x+6}}\\[11pt]&<\frac{\delta}{3} \\[11pt]&\le\epsilon\end{align*} sağlanır.